II. Ve III. Dereceden Denklemler

Administrator Mesaj Sayısı : 404 Kayıt tarihi : 08/08/07

İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

************ ax2 + bx + c = 0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm
köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini
bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da
denklemin kat sayıları denir.

*

B. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0

biçiminde yazılabiliyorsa

f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

*

2. Diskiriminant (D) Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

*

ax2 + bx + c = 0

denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.

a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.

*** Bu kökleri,

b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.

c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.

*** Bu kökler,

*** Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.

*

Ü* ax2 + bx + c = 0

*** denkleminin kökleri simetrik ise,

1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.

2) Simetrik kökleri gerçel ise,

**** b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

*

C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

**** BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,

*

D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;

(x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0* olur.

*

Ü* ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.

**** Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine

**** yazılarak bulunur.

*

Ü* ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

***

*

Ü* ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0

*** denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

*** ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

*** (a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.

*** Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

*

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

*

B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

**** BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,

*

C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem

(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,

x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0* olur.

*

Ü* ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun.

*

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

**************** x1 + x3 = 2x2 dir.

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

****************

3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,

**************** x1 = x2 = x3 tür.

Ü* n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,

**************** anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0

denkleminin;

Kökleri toplamı :

*

Kökleri çarpımı :

Administrator Mesaj Sayısı : 404 Kayıt tarihi : 08/08/07

C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

**** BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,

Konu: Denklem Çözme Çarş. Ağus. 08, 2007 1:58 pm

DENKLEM ÇÖZME

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

*

B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ

1)* a = b ise, a ± c = b ± c dir.

2)* a = b ise, a . c = b . c dir.

3)* a = b ise,

4)* a = b ise, an = bn dir.

5)* a = b ise,

6)* (a = b ve b = c) ise, a = c dir.

7)* (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d

* (a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.

9)* (a = b ve c = d) ise,

10)* a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.

11)* a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.

12)* = 0 ise, (a = 0 ve b ¹ 0) dır.

*

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

1) a ¹ 0 olmak üzere,

*** ax + b = 0 ise,

2) (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi dir.

3) (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.

*

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î , a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.